超関数～階段超関数を微分するとデルタ超関数になる件について～

WebDBForumという学会で、テクノロジーズショウケースと称して話させていただきました。ありがとうございます。インダストリアルの熱さが伝わったのではないかと思います。

上司の出身校であるところのお茶の水女子大学でやったのですが、驚いたのは、そこで金子晃先生にお会いしたことでした。先生の偏微分方程式と超関数入門で育ったので。またかの「解析演習」の著者の一人でいらっしゃるのですが、大学1年でみんなが突き当たる壁であるところのあれですよ。これちゃんと1年の時期にやっておかないと本当に後悔しますからね・・・

あと、これとこれが家にありました。あっただけで全然理解できてないんだけど・・・。

この本なにげにもう一度手に取ってみてみたのですが、やっぱ超関数ってすごいですね(何)。

今でこそニューラルネットワークなどで大活躍の階段関数(Heaviside関数)、微分するとδ関数(Diracのデルタ関数)になるような気はするじゃないですか。

$\displaystyle\frac{d}{dx} H(x) =\left\{ \begin{array}{l}+\infty (x=0) \\0 (otherwise)\end{array} \right.$

でもこれは何の根拠もないので、困るじゃないですか・・・。

これを、佐藤超関数で書くとすごく説得力がある形になるんですよね。佐藤超関数は解析関数(複素数が引数の関数)の商群なんですけど、まず

$\delta(z) = [- \displaystyle\frac{1}{2 \pi i} \displaystyle\frac{1}{z}]$

っす。この根拠なんですけど、下の式の類似に気付いたんですね。

$\displaystyle\int f(x) \delta(x) dx = f(0) = \displaystyle\frac{1}{2 \pi i} \displaystyle\oint \displaystyle\frac{f(z)}{z} dz$

するとですね、1/xの積分はlog(x)なんで、

$H(z) = [- \displaystyle\frac{1}{2 \pi i} \log(-z)]$

ですよ。主値のあれは、0の同値類[0]の中に消えるっす。

複素解析を習ったことがある人は、Log(z)は解析接続によって螺旋状の曲面をなす、ということを習ったかと思います。

ヘビサイド関数は非連続に0から1に上がるように見えますが、複素解析的には、虚軸方向の回転方向に沿って連続的に上がっていると考えるわけですね。詳しくはwikipediaをみてください。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%A4%87%E7%B4%A0%E5%AF%BE%E6%95%B0%E5%87%BD%E6%95%B0

まとめると、実は以下が成り立つので、佐藤超関数的には我々のやってたことは一切問題なかったんスよ。これでマサカリ族を撃退できるぞ!

$\displaystyle\frac{d}{dx} H(x) = \displaystyle\frac{d}{dz} [- \displaystyle\frac{1}{2 \pi i} \log(-z)] = [- \displaystyle\frac{1}{2 \pi i} \displaystyle\frac{1}{z}] = \delta(x)$

前にソリトンの記事書いたときにタウ関数(佐藤の行列式表示/佐藤の解)が出てきたと思うんすけど、マジで佐藤先生は天才っスよね。