ブラウン運動の共分散

統計検定の過去問を見ていたら、まさかのブラウン運動が出題。

時刻t=0でx=0の標準ブラウン運動W(t)を考える。
時刻t=0.5における位置と、t=1.0における位置の共分散を求めよ。

結構難しい。こんなのに試験会場であたったら心が折れると思う。
標準ブラウン運動とは1次元ブラウン運動で、時刻tにおける分散がtに等しいものである。
また、ブラウン運動はマルコフ過程である。

まず、次のようにおく。

$(x,y) = (W(0.5), W(1))$

同時分布を考える。ここで、条件付き確率を使うのがミソ。

$f(x,y) = f(y \vert x) f(x) = \displaystyle\frac{1}{\sqrt{{2\pi}^2 {0.5}^2}}\exp\{-2(y-x)^2\}\cdot \exp(-2x^2)$

ということは、次のようにおいてヤコビアンを計算。

$u = y-x, v = x$

$x=v, y=u+v$

$J = 1$

共分散は、次のようになる。

$Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)=E(XY)=$

$\displaystyle\int x y f(x, y) dx dy =$

$\displaystyle\int v (u + v) f(u, v) J du dv =$

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{{2\pi}^2 {0.5}^2}} \displaystyle\int (uv + v^2) \exp (-2u^2 -2v^2) du dv=$

(奇関数)×(偶関数)=(奇関数)の積分は0なので、

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{{2\pi}^2 {0.5}^2}} \displaystyle\int v^2 \exp (-2u^2 -2v^2) du dv =$

$\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2\pi \cdot 0.5}} \displaystyle\int v^2 \exp (-2v^2) dv =$

$Var[W(0.5)] = 0.5$

以上のように、共分散が求まった。

マルコフ過程(無記憶)なのに共分散があることになる。若干違和感が・・・。違和感の源は不明なので、単にまだ慣れていないのだと思う。