弦理論の数式12（質量0の粒子の作用）

質量>0の粒子の作用は

$S=-m\displaystyle \int ds \\=-m\displaystyle \int d\tau (\sqrt{- \eta_{\mu\nu} \frac{dX^{\mu}}{d\tau}\frac{dX^{\nu}}{d\tau}})$

です。それに対し、質量0の非相対論的自由粒子の作用は

$S=\displaystyle \frac{1}{2} \int d\tau (\frac{1}{a} (- \eta_{\mu\nu} \frac{dX^{\mu}}{d\tau}\frac{dX^{\nu}}{d\tau})-m^2 a)$

です。ラグランジアンは、以下のようになります。

$L=\displaystyle \frac{1}{2a} (- \eta_{\mu\nu} \frac{dX^{\mu}}{d\tau}\frac{dX^{\nu}}{d\tau})-\frac{m^2}{2} a$

この形式には、

というメリットがあります。

aは補助場という任意の関数で、m>0のとき、

$a = \sqrt{- \displaystyle \frac{- \eta_{\mu\nu} \frac{dX^{\mu}}{d\tau}\frac{dX^{\nu}}{d\tau}}{m^2}}$

のようにとると、質量>0の粒子の作用が再現できます。

追加で書くこと