弦理論の数式13（世界面に誘導された計量）

$h_{00} = \dot{X}^2 \\h_{01} = h_{10} = \dot{X} \cdot X$

これは、世界面（τ,σ）に誘導された計量です。

ひもが時間中を運動したときに生じる2次元多様体を世界面といいます。

その2次元多様体中の計量が誘導計量です。

もともと、世界面座標から時空への座標変換を考えることで、自然に誘導計量は作れます。

$X^{\mu} = X^{\mu}(\tau, \sigma) \equiv X^{\mu}(\sigma^0, \sigma^1)$

ですから、時空の計量を使えば、

$ds^2 = - \eta_{\mu \nu} \displaystyle \frac{\partial X^{\mu}}{\partial {\sigma^{\alpha}}} \frac{\partial X^{\nu}}{\partial {\sigma^{\beta}}}d \sigma^{\alpha}d \sigma^{\beta}\equiv \dot{X}^2 d \tau ^2 + 2 \dot{X} \cdot X$

というわけです。

追加で書くこと

なし