ひとつめがノイマン境界条件（自由端）、ふたつめがディリクレ境界条件（固定端）です。
自由端とは、σが0からπまで動く開弦において、端点での運動量の微分がゼロであることです。世界面上を弦が運動するので、端点自体は運動量を持っていますが、弦の延長方向Δσにおいて、運動量が増減しないということです。
固定端とは、開弦において、端点での速度がゼロであることです。これは一般化運動量がゼロであることを意味するため、ラグランジアンを速度で微分した式になります。
閉弦については、境界条件はありませんが、周期条件が課されます。
追加で書くこと
- なぜ開弦は長さπで、閉弦は長さ2πなのか