弦理論の数式6（リッチテンソル）

$R_{ij} = R_{hji}^h = R_{0ji}^0 + R_{1ji}^1 + R_{2ji}^2 + R_{3ji}^3$

をリッチテンソルと言います。

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自明なこと

リッチテンソルはリーマン曲率テンソルのトレースです。

リーマン曲率テンソルの対角成分は0なので、実際は3項になります。

$R_{i0} = R_{00i}^0 + R_{10i}^1 + R_{20i}^2 + R_{30i}^3 = R_{10i}^1 + R_{20i}^2 + R_{30i}^3 \\R_{i1} = R_{01i}^0 + R_{11i}^1 + R_{21i}^2 + R_{31i}^3 = R_{01i}^0 + R_{21i}^2 + R_{31i}^3 \\R_{i2} = R_{02i}^0 + R_{12i}^1 + R_{22i}^2 + R_{32i}^3 = R_{02i}^0 + R_{12i}^1 + R_{32i}^3 \\R_{i3} = R_{03i}^0 + R_{13i}^1 + R_{23i}^2 + R_{33i}^3 = R_{03i}^0 + R_{13i}^1 + R_{23i}^2$

さらなる計算

リーマン曲率テンソルの定義を代入すると次のようになります。

$R_{ij} = R_{hji}^h = \\\displaystyle\frac{\partial}{\partial x^h} [\frac{1}{2} g^{ha}[\frac{\partial g_{ia}}{\partial x^j}+\frac{\partial g_{ja}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^a}]] \\- \frac{\partial}{\partial x^j} [\frac{1}{2} g^{ha}[\frac{\partial g_{ia}}{\partial x^h}+\frac{\partial g_{ha}}{\partial x^i}-\frac{\partial g_{ih}}{\partial x^a}]] \\+ \frac{1}{2} g^{hb}[\frac{\partial g_{hb}}{\partial x^a}+\frac{\partial g_{ab}}{\partial x^h}-\frac{\partial g_{ha}}{\partial x^b}] \frac{1}{2} g^{ac}[\frac{\partial g_{jc}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{ic}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ji}}{\partial x^c}] \\- \frac{1}{2} g^{hb}[\frac{\partial g_{jb}}{\partial x^a}+\frac{\partial g_{ab}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ja}}{\partial x^b}] \frac{1}{2} g^{ac}[\frac{\partial g_{hc}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{ic}}{\partial x^h}-\frac{\partial g_{hi}}{\partial x^c}]$

1階微分係数と2階微分係数の数

3つのリーマン曲率テンソルの和なので、全ての項が3倍の個数になります。

2階微分 4×3=12項
1階微分2つの積 6×3=18項
1階微分2つと逆行列2つの積 18×3=54項
合計 84項

追加で書くこと

なし

自明なこと

さらなる計算

1階微分係数と2階微分係数の数

追加で書くこと

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