弦理論の数式16（弦の共役運動量）
これは、弦理論の数式14（南部-後藤作用）のラグランジアンを微分するだけで、簡単にわかります。
数学
弦理論の数式15（ノイマン境界・ディリクレ境界）
ひとつめがノイマン境界条件（自由端）、ふたつめがディリクレ境界条件（固定端）です。 自由端とは、σが0からπまで動く開弦において、端点での運動量の微分がゼロであることです。世界面上を弦が運動するので、端点自体は運動量を持 […]
弦理論の数式14（南部-後藤作用）
これが、弦の作用です。 Tは弦の張力です。 hは世界面に誘導された計量の行列式です。微小な平行四辺形の面積は計量の行列式で与えられるので、この作用の最小化は世界面の面積を最小化することを意味します。 ラグランジアンは以下 […]
弦理論の数式13（世界面に誘導された計量）
これは、世界面（τ,σ）に誘導された計量です。 ひもが時間中を運動したときに生じる2次元多様体を世界面といいます。 その2次元多様体中の計量が誘導計量です。 もともと、世界面座標から時空への座標変換を考えることで、自然に […]
弦理論の数式12（質量0の粒子の作用）
質量>0の粒子の作用は です。それに対し、質量0の非相対論的自由粒子の作用は です。ラグランジアンは、以下のようになります。 この形式には、 1/mという逆数を含まないので、質量0の粒子でも発散しない √を含まない […]
弦理論の数式11（弦の不確定性原理）
これは、弦の不確定性原理の式です。 点粒子の場合第二項は存在しないので、第二項が弦理論の補正となっています。 α’は、弦の「直径」の2乗に定数倍を除いて等しい量と呼ばれています。T_sは、弦の「張力」と呼ばれています。 […]
弦理論の数式10（ループ積分）
これはループ積分という量で、粒子相互作用において、全ての可能な仮想過程を含む積分の中に現れる発散しうる項です。 Jは粒子のスピン、Dは時空の次元（4とは限らない）です。 自明なこと 4J+D-8 >0の場合p→∞とすると […]
弦理論の数式9（場の量子論）
これは、量子力学の素粒子の、時空に広がる演算子である「場」を、消滅演算子と生成演算子のフーリエ展開で表したものです。 量子力学では、全ての物理量は波動関数に対する演算子となります。 追加で書くこと 演算子について エルミ […]
弦理論の数式8（アインシュタイン方程式）
これがアインシュタイン方程式です。 1項目がリッチテンソル、2項目が曲率スカラー、右辺が運動量エネルギーテンソルです。 万有引力定数と光速の4乗の比は、以下の値になります。 偏微分方程式として 左辺はgとその1階偏微分と […]
弦理論の数式7（曲率スカラー）
を曲率スカラーと言います。 1階微分係数と2階微分係数の数 16個のリッチテンソルの和なので、全ての項が16倍の個数になります。 2階微分 4x3x16=192項 1階微分2つの積 6x3x16=288項 1階微分2つと […]
弦理論の数式6（リッチテンソル）
をリッチテンソルと言います。 自明なこと リッチテンソルはリーマン曲率テンソルのトレースです。 リーマン曲率テンソルの対角成分は0なので、実際は3項になります。 さらなる計算 リーマン曲率テンソルの定義を代入すると次のよ […]
弦理論の数式5（リーマン曲率テンソル）
なにやら複雑な式ですが、これをリーマン曲率テンソルといいます。 自明なこと 添字は、a, b, c, i, j, k, hの7種類なので、項の種類は4^7=16384個あります。 そのうち、a, b, cは和を取ることで […]
機械学習と測度論
「機械学習にルベーグ積分（測度論）は必要か？」 これは使い古されてきた疑問です。 ベイズにしろ、有限時間で終わらないデータ（確率過程）にしろ、ルベーグ積分があった方が良い（十分性）は明らかです。では必要とまで言えるのか。 […]
確率論の不等式
どんな確率分布でも（一部条件付き）、以下の不等式が成り立つ。これらの不等式は、機械学習の理解に役立つことがある。 チェビシェフの不等式 期待値から離れる確率は小さい。 マルコフの不等式 確率変数が期待値より大きくなる確率 […]
素粒子
はじめに サラリーマンが素粒子論挑戦！→からの→瞬死。 π中間子の質量は約135メガエレクトロンボルトでした。 物理学者になる夢 中学校の1階の奥の静かな図書室で、ブルーバックスなどを読んでいたネクラの松崎です。 竹内薫 […]
【因果推論】”Statistical Rethinking” (R/Stan)
Statistical Rethinkingの日本語版が無いので日本語情報を書いてみました。Statistical Rethinkingは「統計を考え直そう」という意味です。Rとstan(rstan)で実用的なベイズ推定 […]
エントロピーのすべて
「マクスウェルの悪魔」「熱力学第二法則」という言葉を聞いたことはないだろうか。 「部屋に閉じこもっていても酸素がゼロにならない」ことや「磁石にN極とS極があって、磁石を2つに割ってもまた磁石になる」ことを不思議に感じたこ […]
統計検定チートシート(1級・2級)
教科書 データサイエンティストに統計検定は必須です。売上を伸ばす施策では機械学習より統計が役立つケースもあります。スキルとキャリアを考えるきっかけに。 統計検定の教科書は公式本です。これを完全理解すれば受かります。 過去 […]
不偏推定量とクラメール・ラオの不等式
標本平均の秘密 標本平均とは、データ(d_1, d_2, …, d_n)に対し、和をnで割ったものです。私たちはあまりに標本平均に慣れすぎているので、それを使うのが正しいことを疑うことはないのですが、数学的に […]
meanとaverageの違い
average = 平均 mean = 算術平均 averageは日常会話で使う言葉。averageとmeanはほぼ同じ意味だが、厳密に算術平均を意味する以上、meanの方が狭いと言える。 例えば、統計文脈だと、稀にav […]
足し算をする機械
今年(1/1〜2/28)一番感動した論文である「足し算をする機械」をコードをパクって実装することができた。感動である。途中いろいろ苦労したので、メモを残した。 この機械は、繰上げや2桁の数、二項演算といった概念形成をする […]
AIと代数幾何@ロマンティック数学ナイト
前のポストで層について語らせてもらいました。 【機械学習の真髄】代数幾何(1):構造層とは 【機械学習の真髄】代数幾何(2):構造層を使って空間を超回復する これ、ブログじゃ書き終わんないし、このままじゃ面白さが伝わらな […]
発表用数式(AIと代数幾何)
スライドを作るときに、圏論・代数幾何でよく使いそうなLaTex記法を書き残しました。 もしネットからたどり着いた方がいらっしゃったら、お役立てください。 図(コードは下段!)： コード： [crayon-673f4eb2 […]
【機械学習の真髄？】代数幾何:構造層を使って空間を超回復する
大前提 ※この記事を読むためには直感的に認めてもらわなければ困ることが7点もあります。 全ての集合には、その上の実数値関数が考えられる ということを、まず認めたい。 ある点xに対して任意の実数を対応させることは当然可能。 […]
超関数 ～階段超関数を微分するとデルタ超関数になる件について～
WebDBForumという学会で、テクノロジーズショウケースと称して話させていただきました。ありがとうございます。インダストリアルの熱さが伝わったのではないかと思います。 上司の出身校であるところのお茶の水女子大学でやっ […]
正規分布のn次(高次)モーメントを生成するプログラム(続・確率論の裏ワザ)
概要 正規分布の場合、x^nを積分しなくても、母関数をn階微分しなくても、原点周りの高次モーメントが順次求まります。 3次モーメント・4次モーメントのみ前回解説済み。 本題 前回、正規分布の3次モーメントE[x^3]は […]
正規分布の3次モーメントの楽な計算法(確率論の裏ワザ)
※統計検定チートシートはこちら 概要 正規分布の3次モーメントの楽な計算法。 大学2年生の2学期に、「物理数学」という授業で習った方法。職場であまり知られてなかったのでメモ。 ただし厳密には微分形式の可積分性(高次元の微 […]
非線形波動の時間変数の無限次元化
はじめに 数ある数学理論の中でも、最も面白いのはソリトン理論で、ひも理論(素粒子)にも応用があったりします。 Hadoopを触りすぎてふと数学をやりたくなったので、振り返ってみました。 要約 シュレーディンガー演算子のル […]
砂漠に行って帰ってきたら統計検定準1級に受かってました。
10日間の休暇を頂き、タクラマカン砂漠に行き、先ほど帰宅いたしました。 ご覧の通りの、非常に美しい世界でした。 長年の、砂漠に行く夢がやっと叶いました。 休暇中に業務上のフォローをしていただいた皆様、有難う御座いました。 […]
一致推定量と不偏推定量の違い
1. 一致推定量 サンプルサイズnは となるようにとります。このとき、「Nが無限大ならば」、1回のサンプリング(試行)で誤差εで一致推定量は母数に必ず一致します。 2. 不偏推定量 サンプルサイズnは固定します。(ここが […]
信頼区間と確率の違い
信頼区間と確率の違いについて、以下の本のp155-157で読みました。 [amazonjs asin=”4785314117″ locale=”JP” title=R […]
ブラウン運動の共分散
統計検定の過去問を見ていたら、まさかのブラウン運動が出題。 問題(改題) 時刻t=0でx=0の標準ブラウン運動W(t)を考える。 時刻t=0.5における位置と、t=1.0における位置の共分散を求めよ。 結構難しい。こんな […]
デルタ法の誤差
Delta法について デルタ法の限界について書かれた文献を発見! 統計検定1級でかなり出題頻度が高いデルタ法。 「確率変数の任意の関数の分散」を単純な公式で求めることが出来る方法なのですが、汎用性が高くて信用できなかった […]
多次元正規分布の条件付き確率計算が3次元なのにえぐい
概要 問題： 3次元正規分布f(x,y,z)に対して、条件付き確率f(z | x, y)を求めよ。 問題 3次元正規分布の計算問題。 2012年度統計検定1級の過去問の解答。 シナイ確率論 p103〜p109の実戦篇です […]
渡辺澄夫 ベイズ統計の理論と方法
もの凄く面白い本に出会ったので紹介します。 「この本では、やさしい計算だからという理由でその前提が成り立たない場合にも誤って応用されてきた理論の限界を述べ、反対に数理が必要になるという理由で実用上大切であるにもかかわらず […]
中心極限定理の証明
標本平均は正規分布に従う 中心極限定理という有名な定理があります。 中心極限定理(wikipedia) 母集団の分布がある条件を満たす分布であれば、標本平均(いくつかサンプルをとって平均を取ったもの)を標準化したものは、 […]
複素関数入門 p1～p48
p1～p16で分かったこと: 複素関数論は、複素数集合に、位相・代数・順序を入れたもの。絶対値の概念が最も重要で、絶対値により完備な距離とそれによる位相、順序構造が入る。 代数学の基本定理 複素n次関数には複素数も含めれ […]